Question

已知點集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=(2x-b，1)，

n

=(1，b+1)，點列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁為L與y軸的交點，等差數列{a_n}的公差為1，n∈N₊．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若f(n)=

an(n=2k-1) bn(n=2k)

(k∈N+)，是否存在k∈N₊使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
（3）求證：

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由y=

m

•

n

及

m

=(2x-b，1)，

n

=(1，b+1)，可得L：y=2x+1，從而得P₁（0，1），則a₁=0，b₁=1，由等差數列通項公式可得a_n，代入y=2x-1可得b_n；
（2）假設存在符合條件的k使命題成立，分k為偶數，k為奇數兩種情況進行討論，分別表示出f（k+11），f（k），根據方程f（k+11）=2f（k），可解得k；
（3）當n≥2時，P_n（n-1，2n-1），可得|P₁P_n|=

5

（n-1），則

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

=

1

5

[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

]，對分母進行放縮后利用裂項相消法可進行化簡，根據其范圍可得結論；

解答：解：（1）由

y= m • n m =(2x-b，1) n =(1，b+1)

，得y=2x+1，
∴L：y=2x+1，∴P₁（0，1），則a₁=0，b₁=1，
∴a_n=n-1（n∈N₊），b_n=2n-1（n∈N₊）．
（2）假設存在符合條件的k使命題成立，
當k是偶數時，k+11是奇數，則f（k+11）=k+10，f（k）=2k-1，
由f（k+11）=2f（k），得k=4；
當k是奇數時，k+11是偶數，則f（k+11）=2k+21，f（k）=k-1，
由f（k+11）=2f（k），得k無解；
綜上存在k=4，使得f（k+11）=2f（k）；
證明：（3）當n≥2時，P_n（n-1，2n-1），
∴|P₁P_n|=

5

（n-1），（n≥2）
∴

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

=

1

5

[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

]＜

1

5

[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-2)(n-1)

]=

1

5

[1+1-

1

n-1

]＜

2

5

．

點評：本題考查數列與不等式、數列與向量的綜合，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．