Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面 平面，點在上，

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）找準突破方向，證明平面即可，再根據條件分析,利用面面垂直得線線垂直及平面幾何知識即可證出；（Ⅱ）建系，利用空間向量解決問題，設設，計算二面角即可．

試題解析：（Ⅰ）取的中點，連接

因為，所以,

又平面平面,平面平面平面,

所以平面,

又平面,所以

在中， ,所以，

由角平分線定理，得，

又，所以,

又因為平面平面,

所以平面,

又平面，所以

（Ⅱ）在中， ,

由余弦定理得，所以，即,

所以，所以,

結合（Ⅰ）知， 兩兩垂直，以為原點，分別以向量的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），設,

則,

所以,

設是平面的一個法向量，

則即，整理，得

令，得

因為平面,所以是平面的一個法向量．

又因為二面角的余弦值為，

所以，解得或 （舍去），

又平面,A所以是三棱錐的高,

故