Question

【題目】已知函數， 是的導函數.

（1）若在處的切線方程為，求的值；

（2）若且在時取得最小值，求的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，當時， .

Answer 1

【答案】（1）a=-1；（2）[0,1]；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據 ，即可得結果；（2）分三種情況分別求函數的最小值，分別驗證是否在時取得最小值，即可得結果；（3）利用導數研究函數的單調性，分兩種情況分別利用分析法證明即可.

試題解析：(1)f(x)=x-asinx,f()=-a= 所以a=-1,經驗證a=-1合題意;

(2)g(x)= f(x)= x-asinx g(x)=1-acosx

①當a=0時, f(x)= x2,顯然在x=0時取得最小值, ∴a=0合題意;

②當a>0時,

(i)當≥1即0<a≤1時, g(x)≥0恒成立, ∴g(x)在(-∞,+∞)上單調遞增,又g(0)=0

∴當x<0時,g(x)<0 即f(x)<0, 當x>0時,g(x)>0 即f(x)>0

∴f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增;

∴f(x) 在x=0時取得最小值

∴當0<a≤1時合題意;

(ii)當0<<1即a>1時,在(0,)內存在唯一x0=arccos使g(x)=0

當x(0,x0)時, ∵y=cosx在(0,)上是單調遞減的, ∴cosx>cosx0=

∴g(x)= a (-cosx)<0 ∴g(x) 在(0, x0)上單調遞減 ∴g(x)<g(0)=0

即f(x)<0 ∴f(x)在(0, x0)內單調遞減;

∴x(0,x0)時,f(x)<0 這與f(x)在x=0時取得最小值即f(x)≥f(0)矛盾

∴當a>1時不合題意;

綜上, a的取值范圍是[0,1].

(3)由(1)知,a=-1 此時g(x)= x+sinx, g(x)=1+cosx

∴==|cos|≥cos

∴若要證原不等式成立,只需證cos+x2>成立;

由(2)知,當a=1時,f(x)≥f(0)恒成立,即x2+cosx≥1恒成立

即cosx≥1-x2(當且僅當x=0時取"="號)

∴cos≥1-x2(當且僅當x=0時取"="號) ……………①

∴只需證: 1-x2+x2>成立,即1+x2>

又由均值不等式知:1+x2≥x(當且僅當x=2時取"="號) ……………②

∵①②兩個不等式取"="的條件不一致

∴只需證: x≥

兩邊取對數得:lnx≥1-……………③

下面證③式成立:令(x)=lnx-1+

則(x)= -= ∴(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增

∴(x)≥(1)=0

即lnx-1+≥0 ∴lnx≥1-

即③式成立

∴原不等式成立