Question

若存在實數p∈[-1，1]，使得不等式px²+（p-3）x-3＞0成立，則實數x的取值范圍為

 

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Answer 1

分析：把已知不等式整理為關于p的一元一次不等式，而不等式左邊為關于p的一次函數，根據一次函數的性質可得此函數的最值只有在[-1，1]的端點取得，根據題意不等式恒成立可得當p=-1時，最小值大于0即可，故把p=-1代入不等式，得到關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍．

解答：解：不等式px²+（p-3）x-3＞0可以化為：p（x²-3x）-3x-3＞0，
這是一個關于p的一元一次不等式，
函數p（x²+x）-3x-3是關于p的一次函數，一次函數圖象是直線，在定義域上是單調遞增或遞減，
P∈[-1，1]時，函數p（x²+x）-3x-3的最小值必定在端點-1或1處取到，
不等式px²+（p-3）x-3＞0總成立，只需最小值大于0即可．
∴-x²+（-1-3）x-3＞0，即x²+（1+3）x+3＜0，
解得：-3＜x＜-1，
則實數x的取值范圍為（-3，-1）．
故答案為：（-3，-1）

點評：考查學生理解函數恒成立時的條件的能力，以及靈活運用一元二次不等式解法的能力．