Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BCD=90°，AB∥CD，又AB⊥PC．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面PAD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證PC⊥平面ABCD可利用線面垂直的判定定理即證明PC與面ABCD內(nèi)的兩條相交直線垂直即可而根據(jù)題中的條件分析可知AB，BC即為要找的兩條相交直線．
（Ⅱ）法一：幾何法．可先利用題中條件作出過其中一平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于另一平面的垂線然后再根據(jù)三垂線定理即可作出二面角的平面角然后把這個(gè)角放在三角形內(nèi)求解即可．而根據(jù)題中的條件再結(jié)合（1）的結(jié)論可得BC⊥平面PCD故過C作CM⊥PD于M連接BM而CM是BM在平面PCD內(nèi)的射影根據(jù)三垂線定理可得BM⊥PD所以∠CMB為二面角B-PD-C的平面角然后在直角三角形BCM中求出∠CMB．
    法二：空間向量法．根據(jù)題中條件可得CD，CB，CA兩兩垂直故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系過C作CM⊥DP于M，連接BM利用，共線可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)為從而可計(jì)算出即MB⊥DP故∠CMB為二面角B-PD-C的平面角然后利用向量的夾角公式即可求出∠CMB的余弦值．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)B到平面PAD的距離為h利用三棱錐B-PAD與三棱錐P-ABD的體積相等即可求出h．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵在△PBC中，
∴BC²+PC²=PB²
∴∠PCB=90°，即PC⊥BC
∵AB⊥PC
∵AB∩BC=B
∴PC⊥平面ABCD．
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知PC⊥BC
又∵BC⊥CD，PC∩CD=C
∴BC⊥平面PCD
過C作CM⊥PD于M，連接BM
∴CM是BM在平面PCD內(nèi)的射影
∴BM⊥PD，
又∵CM⊥PD
∴∠CMB為二面角B-PD-C的平面角．
在△PCD中，∠PCD=90°，PC=1，CD=2，∴
又∵CM⊥PD∴PD•CM=PC•CD，∴．
在△CMB中，∠BCM=90°，BC=1，
∴
∴二面角B-PD-C的大小為．
方法二：如圖，在平面ABCD內(nèi)，以C為原點(diǎn)，CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
則C（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），P（0，0，1），A（1，1，0）
過C作CM⊥DP于M，連接BM，設(shè)M（x，y，z）
則
∵
∴      
∵共線
∴
由，解得
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
∵
∴MB⊥DP
又∵CM⊥DP
∴∠CMB為二面角B-PD-C的平面角
∵，，∴
∴二面角B-PD-C的大小為．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)B到平面PAD的距離為h
∵AB⊥BC
∴
∵PC⊥平面ABCD
∴PC⊥AC
∴
在直角梯形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2
∴
在△PAD中，∵，
∴AD²+PA²=PD²
∴∠PAD=90°
∴△PAD的面積
∵三棱錐B-PAD的體積V_B-PAD=V_P-ABD
∴=，
即，解得
∴點(diǎn)B到平面PAD的距離為．
點(diǎn)評：本題主要考察了線面垂直的證明，二面角的求解，點(diǎn)到面的距離的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是第一問要根據(jù)題中數(shù)據(jù)得出PC⊥BC而第二問可采用幾何法（關(guān)鍵是找到垂線然后利用三垂線定理即可做出二面角的平面角）也可采用空間向量的方法證明∠CMB為二面角B-PD-C的平面角，對于第三問中點(diǎn)到面的距離的求解常采用輪換三棱錐的頂點(diǎn)但體積不變即“等積法”求解！