Question

【題目】設函數 ）.

（1）若直線和函數的圖象相切，求的值；

（2）當時，若存在正實數，使對任意都有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）利用導數的意義，設切點，得斜率，列方程求即可；

（2）由（1）得當， ；當時， ，取絕對值構造函數即可.

試題解析：

（1）設切點的坐標為，由，得，

所以切線方程為，即，

由已知和為同一條直線，所以，

令，則，

當時， 單調遞增，當時， 單調遞減，

所以，

當且僅當時等號成立，所以.

（2）①當時，有（1）結合函數的圖象知：

存在，使得對于任意，都有，

則不等式等價，即，

設 ，

由得，由得，

若，因為，所以在上單調遞減，

因為，

所以任意，與題意不符，

若，所以在上單調遞增，

因為，所以對任意符合題意，

此時取，可得對任意，都有.

②當時，有（1）結合函數的圖象知，

所以對任意都成立，

所以等價于，

設，則，

由得得， ，

所以在上單調遞減，注意到，

所以對任意，不符合題設，

總數所述， 的取值范圍為.