Question

【題目】如圖，四棱錐的側面是正三角形，底面是直角梯形，.

（1）求證：；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點，根據等邊三角形性質得，根據直角梯形以及中位線得，最后根據線面垂直判定定理以及性質定理證得結果；

（2）解法一，建立空間直角坐標系，先求平面一個法向量，再根據向量數量積求向量夾角，最后根據線面角與向量夾角關系得結果；

解法二，設點到平面的距離為，利用平行轉化求點到平面的距離，過點作，可證平面，再根據直角三角形求得結果.

（1）證明：取中點，連，，

因為是正三角形，所以，

又是中點，所以，

因為，所以，

所以，因為平面,

所以平面，

所以.

（2），又，所以，則，

又，所以平面，所以平面平面，

由定理可知平面，

建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，

則，，，，

設平面的法向量為，

可取，

又，

所以，.

即直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：

，又，所以，則，

又，所以平面，所以平面平面，

平面平面，

由定理可知平面，不妨設，

在中，，，所以.

設直線與平面所成角為，點到平面的距離為，

因為，平面，

所以平面，故點到平面的距離也為，

過點作，垂足為，由定理即知平面，

在中，，

所以，.