Question

【題目】已知公比不為1的等比數列{an}的前5項積為243，且2a3為3a2和a4的等差中項．
（1）求數列{an}的通項公式an；
（2）若數列{bn}滿足bn=bn﹣1log3an+2（n≥2且n∈N*），且b1=1，求數列 的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由前5項積為243，即為a1a2a3a4a5=243，

即有a1a5=a2a4=a32，即a35=243，

得：a3=3，設等比數列的公比為q，

由2a3為3a2和a4的等差中項得：4a3=3a2+a4，

即 ，

由公比不為1，解得：q=3，

所以an=a3qn﹣3，

即

（2）解：由bn=bn﹣1log3an+2=bn﹣1n，

得 ，

數列 ，

所以它的前n項和 ．

【解析】（1）運用等比數列的性質可得a3=3，設等比數列的公比為q，運用等差數列中項的性質，結合等比數列通項公式，解得q=3，即可得到所求數列{an}的通項公式；（2）求得bn=bn﹣1log3an+2=bn﹣1n，運用數列恒等式bn=b1 … =n!，求出 ，運用裂項相消求和即可得到所求和．