Question

【題目】數列的前項和為，且是和的等差中項，等差數列滿足，.

（1）求數列、的通項公式；

（2）設，數列的前項和為，證明：.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查等差數列與等比數列的概念、通項公式、前項和公式、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力.第一問，先利用是和的等差中項，得到，由求，注意的情況，不要漏掉，會得到為等比數列，利用等比數列的通項公式，求和公式直接寫出和，再利用已知求出，寫出等差數列的通項公式；第二問，先化簡表達式，利用裂項相消法求和求，利用放縮法比較與的大小，作差法判斷數列的單調性，因為數列為遞增數列，所以最小值為，即，所以.

試題解析：（1）∵是和的等差中項，∴

當時，，∴

當時，，

∴ ，即 3分

∴數列是以為首項，為公比的等比數列，

∴， 5分

設的公差為，，，∴

∴ 6分

（2） 7分

∴ 9分

∵,∴ 10分

∴數列是一個遞增數列 ∴.

綜上所述， . 12分