Question

（13分）
在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡是C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，不過點(diǎn)A的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和Q.
（I）求軌跡C的方程；
（II）當(dāng)時(shí)，求k與b的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn).

Answer 1

（I）（II）且直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)

（1）的距離之和是4，
的軌跡C是長(zhǎng)軸為4，焦點(diǎn)在x軸上焦中為的橢圓，
其方程為                                     …………3分
（2）將，代入曲線C的方程，
整理得 
…………5分
因?yàn)橹本�與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P和Q，
所以①
設(shè)，則
 ②                                        …………7分
且③
顯然，曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A（-2，0），
所以
由
將②、③代入上式，整理得                   …………10分
所以
即經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件①
當(dāng)b=2k時(shí)，直線的方程為
顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)（-2，0）點(diǎn).
即直線經(jīng)過點(diǎn)A，與題意不符.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為
顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)，且不過點(diǎn)A.
綜上，k與b的關(guān)系是：
且直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)                                                                   …………13分