Question

已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），對定義域內的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）-3
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f(x)+f(

1

x

)=6(x＞0)；
（3）若x＞1時，f（x）＜3，判斷f（x）在其定義域上的單調性，并證明．

Answer 1

分析：（1）利用賦值即令x=y=1的方法易得結果．
對于（2）的抽象等式的證明，利用（1）的結論聯想f(1)=f(x•

1

x

)=3即可解答．
對于（3）抽象函數的單調性的證明，需要特別的構造方法，本題中的特點是含有f（xy），因此在設出0＜x₁＜x₂之后想到
構造出：

x2

x1

＞1，可應用已知得到f(

x2

x1

)＜3，再利用（2）的結論，下面的證明過程就很自然了．

解答：解：（1）由已知已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），因此令x=y=1得
     f（1•1）=f（1）+f（1）-3，可得：
     f（1）=3                        （2分）
    （2）由已知以及（1）的結論可得f(1)=f(x•

1

x

)=f(x)+f(

1

x

)-3=3
     即有：f(x)+f(

1

x

)=6(x＞0)      （7分）
    （3）f（x）是（0，+∞）上的減函數（9分），證明如下：
     設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜3，f(x2)+f(

1

x1

)-3＜3，
     f(x2)＜6-f(

1

x1

)=f(x1)．
∴f（x）是（0，+∞）上的減函數．   （14分）

點評：本題考查抽象函數的概念及其應用，抽象函數單調性的判斷和證明，抽象函數不等式的解集的求法．
考查了構造函數以及函數值的賦值法即函數特值的應用技巧．