Question

給出下列四個命題：
①若△ABC三邊為a，b，c，面積為S，內切圓的半徑r=

2S

a+b+c

，則由類比推理知四面體ABCD的內切球半徑R=

3V

S1+S2+S3+S4

（其中，V為四面體的體積，S₁，S₂，S₃，S₄為四個面的面積）；
②若回歸直線的斜率估計值是1.23，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程是

y

=1.23x+0.08；
③若偶函數f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]時，f（x）=x，則方程f（x）=log₃|x|有3個根．
④若圓C1：x2+y2+2x=0，圓C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個圓恰有2條公切線．
其中，正確命題的序號是

①②④

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①根據平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線 類比 直線或平面，由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可；
②利用樣本中心點的坐標滿足回歸直線方程，可知正確；
③根據定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x，畫出函數f（x）的圖象，然后根據函數y=f（x）-log₃|x|的零點個數，即為對應方程的根的個數，即為函數y=f（x）與函數y=log₃|x|的圖象交點的個數；
④根據兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，可得兩圓相交，故兩圓的公切線有2條．

解答：解：①設四面體的內切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和，則四面體ABCD的內切球半徑R=

3V

S1+S2+S3+S4

，故①正確；
②利用樣本中心點的坐標滿足回歸直線方程，可知正確；
③若函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），則函數是以2為周期的周期函數，又由函數是定義在R上的偶函數，
結合當x∈[0，1]時，f（x）=x，我們可以在同一坐標系中畫出函數y=f（x）與函數y=log₃|x|的圖象如下圖所示：

由圖可知函數y=f（x）與函數y=log₃|x|的圖象共有4個交點，即函數y=f（x）-log₃|x|的零點個數是4個，故③不正確；
④∵⊙C₁：x²+y²+2x=0，即（x+1）²+y²=1，表示圓心為（-1，0），半徑等于1的圓，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圓心為（0，-1），半徑等于

2

的圓．兩圓的圓心距等于

2

，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，故兩圓的公切線有2條，故④正確．
故答案為：①②④

點評：本題考查的知識點是類比推理、線性回歸方程、對數函數的圖象與性質、圓與圓的位置關系，綜合性強．