Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個(gè)命題：
①y=f（x）的定義域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②點(diǎn)（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的圖象的對稱中心；
③函數(shù)y=f（x）的最小正周期為1；
④函數(shù)y=f（x）在（-

1

2

，

3

2

]上是增函數(shù)；
則其中真命題是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)解析式易用分析法求出函數(shù)的值域；根據(jù)f（2k-x）與f（x）的關(guān)系，可以判斷函數(shù)y=f（x）的圖象是否關(guān)于點(diǎn)（k，0）（k∈Z）對稱；再判斷f（x+1）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；而由①的結(jié)論，易判斷函數(shù)y=f（x）在 （-

1

2

，

3

2

]上的單調(diào)性，但要說明④不成立，我們可以舉出一個(gè)反例．

解答：解：①中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-

1

2

，

1

2

]
所以①正確；
②中∵f（2k-x）=（2k-x）-{2k-x}=（-x）-{-x}=f（-x）
∴點(diǎn)（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的圖象的對稱中心；故②錯(cuò)；
③中，∵f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{x}=f（x）
所以周期為1，故③正確；
④中，x=-

1

2

時(shí)，m=-1，
f（-

1

2

）=

1

2

x=

1

2

時(shí)，m=0，
f（

1

2

）=

1

2

所以f（-

1

2

）=f（

1

2

）
所以④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用函數(shù)的三要素、性質(zhì)判斷命題的真假，我們要根據(jù)定義中給出的函數(shù)，結(jié)合求定義域、值域的方法，及對稱性、周期性和單調(diào)性的證明方法，對4個(gè)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證．