Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，底面是矩形，平面平面，平面平面，是邊長為4的等邊三角形，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)先證明平面，又，從而證明平面.即可得證.

(2)以的中點(diǎn)為為原點(diǎn)建立空間之間坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量為，平面的法向量代入公式即可求解.

（1）由底面為矩形可得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面

因?yàn)?/span>平面MCD，平面MCD，所以平面MCD，

而平面平面，所以，所以平面.

又平面，所以.

（2）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，過作交于.易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以為，軸建立空間直角坐標(biāo)系

則，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為.

由可得可令，可得

設(shè)平面的法向量

由可得令，可得

則

易知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為