Question

【題目】如圖，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC將梯形DCFE折起，使得平面DCFE⊥平面ABCD．
（1）證明：AC∥平面BEF；
（2）求三棱錐D﹣BEF的體積；
（3）求直線AF與平面BDF所求的角．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取BF的中點M，設AC與BD交點為O，連接MO，ME．

由題設知，CE DF，MO DF，∴CE MO，

∴四邊形OCEM為平行四邊形，∴EM∥CO，即EM∥AC．

又AC平面BEF，EM平面BEF，

∴AC∥平面BEF

（2）解：∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，

∴BC⊥平面DEF．

∴三棱錐D﹣BEF的體積為：

（3）解：∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，

又FD⊥CD，∴FD⊥平面ABCD，

又AC平面ABCD，∴AC⊥DF

又在正方形ABCD中，AC⊥BD，BD∩DF=D，∴AC⊥平面BDF，

連結FO，∵AF與平面BDF所成角為∠AFO，又AB=AD=DF=2，

∴ ， ，

∴ ，

∴直線AF與平面BDF所求的角為 ．

【解析】（1）取BF的中點M，設AC與BD交點為O，連接MO，ME，推導出四邊形OCEM為平行四邊形，從而EM∥AC，由此能證明AC∥平面BEF．（2）推導出BC⊥平面DEF，從而三棱錐D﹣BEF的體積為 ，由此能求出結果．（3）推導出FD⊥平面ABCD，AC⊥DF，AC⊥平面BDF，連結FO，則AF與平面BDF所成角為∠AFO，由此能求出直線AF與平面BDF所求的角的大小．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則)的相關知識才是答題的關鍵．