Question

【題目】已知分別為橢圓的左、右焦點，為該橢圓的一條垂直于軸的動弦，直線與軸交于點，直線與直線的交點為.

（1）證明：點恒在橢圓上.

（2）設直線與橢圓只有一個公共點，直線與直線相交于點，在平面內是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出該點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，

【解析】

（1）根據題意求得的坐標，設出的坐標，求得直線的方程，由此求得的坐標，代入橢圓方程的左邊，化簡后得到，由此判斷出恒在橢圓上.

（2）首先判斷直線的斜率是否存在.然后當直線斜率存在時，設出直線的方程，判斷出的位置并設出的坐標.聯立直線的方程和橢圓方程，化簡后利用判別式等于零求得的關系式，進而求得的坐標，結合點坐標以及，利用列方程，結合等式恒成立求得的坐標.

（1）證明：由題意知，設，則.

直線的方程為，直線的方程為，

聯立可得，，即的坐標為.

因為，

所以點恒在橢圓上.

（2）解：當直線的斜率不存在時，不符合題意.不妨設直線的方程為，由對稱性可知，若平面內存在定點，使得恒成立，則一定在軸上，故設，

由可得.

因為直線與橢圓只有一個公共點，

所以，

所以.

又因為，所以，

即.

所以對于任意的滿足的恒成立，

所以解得.

故在平面內存在定點，使得恒成立.