Question

如圖，是半圓的直徑，是半圓上除、外的一個動點，垂直于半圓所在的平面， ∥，，，．

⑴證明：平面平面；
⑵當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）要證明平面平面，需要通過其判定定理來得到，先證明平面，進而得到。
（2）

試題分析：（Ⅰ）證明：因為是直徑，所以            1分，
因為平面，所以                     2分，
因為，所以平面                 3分
因為， ，所以是平行四邊形，，所以平面                                               4分，
因為平面，所以平面平面           5分
（Ⅱ）依題意，             6分，
由（Ⅰ）知
，當且僅當時等號成立                    8分
如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，，則，，，             9分

設面的法向量為，，即，                  10分
設面的法向量為， ，即，                              12分
可以判斷與二面角的平面角互補
二面角的余弦值為。                    13分
點評：主要是考查了面面垂直和二面角的平面角的求解，屬于基礎題。