Question

（2012•豐臺區一模）已知函數f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＞0時，函數f（x）在區間[1，e]上的最小值為-2，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）我們易求出f（1）及f′（1）的值，代入點斜式方程即可得到答案；
（Ⅱ）確定函數的定義域，求導函數，分類討論，確定函數的單調性，利用函數f（x）在區間[1，e]上的最小值為-2，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）設g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，等價于g（x）在（0，+∞）上單調遞增，由此可求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，f′(x)=2x-3+

1

x

．         …（1分）
因為f'（1）=0，f（1）=-2，…（2分）
所以切線方程為 y=-2．                                     …（3分）
（Ⅱ）函數f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域為（0，+∞）．
當a＞0時，f′(x)=2ax-(a+2)+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

（x＞0），…（4分）
令f'（x）=0，即f′(x)=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，所以x=

1

2

或x=

1

a

．          …（5分）
當0＜

1

a

≤1，即a≥1時，f（x）在[1，e]上單調遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；                      …（6分）
當1＜

1

a

＜e時，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合題意；
當

1

a

≥e時，f（x）在（1，e）上單調遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合題意．      …（7分）
綜上可得 a≥1．                                            …（8分）
（Ⅲ）設g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，等價于g（x）在（0，+∞）上單調遞增．…（9分）
而g′(x)=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

，…（10分）
當a=0時，g′(x)=

1

x

＞0，此時g（x）在（0，+∞）單調遞增；      …（11分）
當a≠0時，只需g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，因為x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，則需要a＞0，
對于函數y=2ax²-ax+1，過定點（0，1），對稱軸x=

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，即0＜a≤8．    …（12分）
綜上可得 0≤a≤8．                                        …（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，正確求導是關鍵．