Question

【題目】已知，函數.

（Ⅰ）當時，解不等式；

（Ⅱ）若關于的方程的解集中恰有一個元素，求的取值范圍；

（Ⅲ）設，若對任意，函數在區間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 解集為;(2) 或;(3) 的取值范圍是.

【解析】試題分析：

（1）根據題意將不等式化為指數不等式求解．（2）由題意可得方程只有一個解，即只有一解，令，則上只有一解，分離參數后并結合圖象求解即可．（3）先征得函數在定義域內單調遞減，從而可得在區間上的最大值、最小值，由題意得恒成立，整理得恒成立．令，可得恒成立，求得函數在上的最大值后解不等式可得的范圍．

試題解析：

（1）當時， ，

∴，

整理得，解得．

∴原不等式的解集為.

（2）方程，

即為，

∴，

∴，

令，則，

由題意得方程在上只有一解，

令, ,

結合圖象可得，當或時，直線的圖象只有一個公共點，即方程只有一個解．

∴實數的范圍為.

（3）∵函數在上單調遞減，

∴函數在定義域內單調遞減，

∴函數在區間上的最大值為，最小值為，

∴

由題意得，

∴恒成立，

令，

∴恒成立，

∵在上單調遞增，

∴

∴，

解得，

又，

∴．

∴實數的取值范圍是.