Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系、設(shè)曲線C參數(shù)方程為

x= 3 cosθ y= sinθ

（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-

π

4

)=2

2

．
（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離．

Answer 1

分析：（1）利用兩角差的余弦公式及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線l的普通方程；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，消去θ可得曲線C的普通方程．
（2）由點(diǎn)到直線的距離公式、兩角和的正弦公式，及正弦函數(shù)的有界性求得點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．

解答：解：（1）由ρcos(θ-

π

4

)=2

2

得   ρ（cosθ+sinθ）=4，∴直線l：x+y-4=0．
由

x= 3 cosθ y= sinθ

得C：

x2

3

+y2=1．
（2）在C：

x2

3

+y2=1上任取一點(diǎn)P(

3

cosθ，sinθ)，則點(diǎn)P到直線l的距離為
d=

| 3 cosθ+sinθ-4|

2

=

|2•sin(θ+ π 3 )-4|

2

≤

|-2-4|

2

=3

2

．
∴當(dāng)sin(θ+

π

3

)=-1，即θ=-

5

6

π+2kπ，k∈z 時(shí)，d_max=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線距離公式、三角變換等內(nèi)容，屬于中檔題．