Question

【題目】如圖所示，四棱錐中，底面，，，，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）在中，由余弦定理可解得：

所以，所以是直角三角形，

又為等邊三角形，所以，所以，即可證明平面；

（2）：由（1）可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以,，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>，，，

所以，，

在中，，，，

由余弦定理可得：

解得：

所以，所以是直角三角形，

又為的中點(diǎn)，所以

又，所以為等邊三角形，

所以，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）解：由（1）可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以,，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

所以，，.

設(shè)為平面的法向量，則，即

設(shè)，則，，即平面的一個(gè)法向量為，

所以

所以直線與平面所成角的正弦值為.