Question

【題目】在數列中，，且對任意，成等差數列，其公差為.

（1）若，求的值；

（2）若，證明成等比數列（）；

（3）若對任意，成等比數列，其公比為，設，證明數列是等差數列.

Answer 1

【答案】（1），.（2）見證明；（3）見證明；

【解析】

（1）由成等差數列且公差為2可計算的值.

（2）由可得，再根據得到，從而可證成等比數列.

（3）利用成等比數列且公比為可得，對該遞推關系變形后可得為等差數列.

（1）因為對任意，成等差數列，

所以當時，成等差數列且公差為2，

故，故.

（2）證明：由題設，可得，.所以

，

由得，，

從而，所以.

于是，

所以當時，對任意的，成等比數列.

（3）由成等差數列，及成等比數列，

可得，所以，

當時，可知，，

從而，即，

所以數列是公差為1的等差數列.