Question

設f（x）=

ax2+bx+1

x+c

（a＞0）為奇函數，且|f（x）|_min=2

2

，數列{a_n}與{b_n}滿足如下關系：a₁=2，an+1=

f(an)-an

2

，bn=

an-1

an+1

．
（1）求f（x）的解析表達式；
（2）證明：當n∈N₊時，有b_n≤(

1

3

)n．

Answer 1

由f（x）是奇函數，得b=c=0，
由|f（x）_min|=2

2

，得a=2，故f（x）=

2x2+1

x

（2）an+1=

f(an)-an

2

=

2 a 2n +1 a  n -an

2

=

a 2n +1

2an

，
bn+1=

an+1-1

an+1+1

=

a 2n +1 2an -1

a 2n +1 2an +1

=

a 2n -2an+1

a 2n +2an+1

=(

an-1

an+1

)2=b_n²
∴b_n=b_n-1²=b_n-2⁴═

b

2n-11

，而b₁=

1

3

∴b_n=(

1

3

)2n-1
當n=1時，b₁=

1

3

，命題成立，
當n≥2時∵2^n-1=（1+1）^n-1=1+C_n-1¹+C_n-1²++C_n-1^n-1≥1+C_n-1¹=n
∴(

1

3

)2n-1＜(

1

3

)n，即b_n≤(

1

3

)n．