Question

設數列的各項都是正數，且對任意，都有，其中 為數列的前項和。
(1)求證數列是等差數列；
(2）若數列的前項和為T_n,求T_n。

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）

解析試題分析：（1）利用（）和已知等式可得，由于，.然后再求n=1時，a₁的值即可求證；
（2）利用（1）的結論，首先求出，然后在求出，這樣就可得到=，最后在利用裂項法求數列的前n項和.
試題解析：解：（1）∵，當時，，
兩式相減，得，即
，又，∴.      4分
當時,,∴,又,∴.
所以,數列是以3為首項,2為公差的等差數列.               6分
（2）由（1） ,∴.
設,； ∵ ， ∴
∴                      10分
=
=                                            12分
考點：1.數列的遞推公式；2.等差數列的證明；3.求數列的前n項和.