Question

【題目】已知函數f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．
（1）當a=3時，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≥5﹣x對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=3時，即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2，

①當x≥ 時，不等式即2x﹣3+x﹣1≥2，解得x≥2，

②當1＜x＜ 時，不等式即3﹣2x+x﹣1≥2，解得x＜0．

③當x≤1時，3﹣2x+1﹣x≥2，解得2x≤2，即x≤ ．

∴綜上，原不等式解集為{x|x≤ 或x≥2}

（2）解：即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立

令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|= ，

則由函數g（x）的圖象可得它的最大值為4，

故函數y=|2x﹣a|的圖象應該恒在函數g（x）的圖象的上方，

數形結合可得 ≥3，

∴a≥6，即a的范圍是[6，+∞）

【解析】（1）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（2）令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|，求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．