Question

【題目】已知F2、F1是雙曲線 =1（a＞0，b＞0）的上、下焦點，點F2關于漸近線的對稱點恰好落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）
A.3
B.
C.2
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意，F1（0，﹣c），F2（0，c）， 一條漸近線方程為y= x，則F2到漸近線的距離為 =b．
設F2關于漸近線的對稱點為M，F2M與漸近線交于A，
∴|MF2|=2b，A為F2M的中點，
又0是F1F2的中點，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2為直角，
∴△MF1F2為直角三角形，
∴由勾股定理得4c2=c2+4b2
∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2 ，
∴c=2a，∴e=2．
故選C．
首先求出F2到漸近線的距離，利用F2關于漸近線的對稱點恰落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，可得直角三角形MF1F2 ， 運用勾股定理，即可求出雙曲線的離心率．