Question

已知函數滿足對任意實數都有成立，且當時，,.
（1）求的值；
（2）判斷在上的單調性，并證明；
（3）若對于任意給定的正實數，總能找到一個正實數，使得當時，，則稱函數在處連續。試證明：在處連續．

Answer 1

（1）；（2）在上單調遞增; （3）詳見試題解析．

解析試題分析：（1）利用求，可得；（2）利用函數單調性的定義：設，則，，從而在上單調遞增; （3）利用賦值法先求．要證，對，當時，取，則當,即時，由單增可得，即；當時，必，使得，取，利用證明．
試題解析：（1） ；
（2）設，則，，在上單調遞增；
（3）令，得，．對任意，，，，又，，要證，對，當時，取，則當，即時，由單增可得，即；當時，必，使得，取，則當，即時，有，而，，．
綜上，在處連續．
考點：1．賦值法求抽象函數的函數值；2．抽血函數的單調性；3．抽象函數的連續性．