Question

已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N?)．

(1)求a2，a3，a4的值；

(2)由(1)猜想{an}的通項(xiàng)公式，并給出證明．

 

Answer 1

（1）a2＝，a3＝，a4＝（2）an＝

【解析】(1)由4an＋1－anan＋1＋2an＝9，得an＋1＝＝2－，求得a2＝，a3＝，a4＝.

(2)猜想an＝.證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，猜想成立．

②設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)(k∈N*)時(shí)，猜想成立，即ak＝，

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有ak＋1＝2－＝2－，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立．

綜合①②，猜想對任何n∈N*都成立．