Question

（本小題滿分12分）已知函數（m為常數，且m>0）有極大值9.

  （Ⅰ）求m的值；

  （Ⅱ）若斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.

Answer 1

(Ⅰ) m＝2. （Ⅱ）5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

解析:

(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,

    當x變化時，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞,－m)	－m	(－m,)		(,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)		極大值		極小值

從而可知，當x=－m時，函數f(x)取得極大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依題意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，

所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.