Question

設橢圓C₁和拋物線C₂的焦點均在軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點，從每條曲線上各取兩點，將其坐標記錄于下表中：

	3	-2	4
		0	-4

 
（1）求曲線C₁，C₂的標準方程；
（2）設直線與橢圓C₁交于不同兩點M、N，且。請問是否存在直線過拋物線C₂的焦點F？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1) ；
(2)存在，

（1）由題意（-2，0）一定在橢圓C₁上。設C₁方程為，則.
橢圓C₁上任何點的橫坐標
所以也在C₁上，從而，C₁的方程為.   4分
從而，（4，-4）一定在C₂上，設C₂的方程為
即C₂的方程為 （2）假設直線過C₂的焦點F（1，0）。當的斜率不存在時，則
此時，與已知矛盾。  當的斜率存在時設為，則的方程為代入C₁方程并整理得：
 設，則

，，
存在符合條件的直線且方程為