Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

（Ⅰ）若函數有2個零點，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若，關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據等價轉化思想，可得圖像有兩個交點，根據數形結合可得結果.

（Ⅱ）化簡式子，可得在上恒成立，構建函數，利用導數并結合分類討論的方法判斷函數單調性，，然后計算，可得結果.

（Ⅰ）令，故，顯然，

故，令，

故，

當時，；

當時，；

當時，；

作出函數的圖像如下所示；

觀察可知，時滿足題意，

即實數的取值范圍為；

（Ⅱ）依題意：，

即在上恒成立，

令，，

則，

令，即，則；

（ⅰ）當，即時，

對于任意，，

故在上單調遞減；

對于任意，，

故在上單調遞增；

因此當時，

有最小值為，

即

此時；

（ⅱ）當，即時，

對于任意，，

故在上單調遞減，

因為，所以，即；

綜上所述，實數的取值范圍為.