Question

我們把形如y=f（x）^φ（x）的函數稱為冪指函數，冪指函數在求導時，可以利用對數法：在函數解析式兩邊求對數得lny=φ（x）lnf（x），兩邊求導數，得

y′

y

=φ′(x)lnf(x)+φ(x)

f′(x)

f(x)

，于是y′=f(x)φ(x)[φ′(x)lnf(x)+φ(x)

f′(x)

f(x)

]，運用此方法可以探求得函數y=x

1

x

的一個單調遞增區間是（　　）

• A．（e，4）
• B．(e-

  1

  e

  ，e+

  1

  e

  )
• C．（e-1，e+1）
• D．（0，e）

Answer 1

分析：仔細分析題意，找出f（x），φ（x），然后依據題意求函數的導數，判斷導數的單調性，求出單調增區間即可．

解答：解：仿照題目給定的方法，f（x）=x，φ（x）=

1

x

，
所以f′（x）=1，φ′（x）=-

1

x2

，
由于y′=f(x)φ(x)[φ′(x)lnf(x)+φ(x)

f′(x)

f(x)

]，
所以y′=x 

1

x

(-

1

x2

lnx+

1

x

•

1

x

)=x 

1

x

•

1-lnx

x2

，
∵x＞0，∴x 

1

x

＞0，x²＞0，
∴要使y′＞0，只要 1-lnx＞0，解得：x∈（0，e）
故y=x 

1

x

的一個單調遞增區間為：（0，e），
故選：D．

點評：本題考查對數的運算性質，導數的運算，函數的單調性與導數的關系，考查計算能力，分析問題解決問題的能力，是基礎題．