Question

己知函數 .
(I)若是，的極值點，討論的單調性；
(II)當時，證明：.

Answer 1

（I)當，單調遞增；當時單調遞減； (II)證明過程如下解析.

試題分析：（I)由是函數的極值點，可得，進而可得，進而分析的符號，進而可由導函數的符號與函數單調性的關系，可得函數的單調性；
（II) 要求，不易證明.但當時，進而轉化證明.可由圖像法確定零點的位置及進而確定的單調性及，得證.
試題解析：(I) 因為，所以，且.又因是，的極值點，所以，解得，所以，.另得，此時單調遞增；當時，解得，此時單調遞減.
（II) 當時，，所以.令，只需證 .令，即，由圖像知解唯一，設為，則，.所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以，因為，所以.綜上，當時，.