Question

(12分)如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC₁中點(diǎn),平面ABC

（Ⅰ）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A－A₁D－B的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面A₁BD的距離.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）二面角的余弦值為．（3）．

解析試題分析：(1)證明線面垂直，根據(jù)其判定定理，只須證明AB₁垂直這個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線即可，本小題顯然應(yīng)證：.
(2)利用空間向量法求二面角，先求出二面角兩個(gè)面的法向量，然后再利用求解即可.
(3)利用空間向量法點(diǎn)C到平面的距離根據(jù)來(lái)解即可.
（1）取中點(diǎn)，連結(jié)． 為正三角形，．
在正三棱柱中，  平面平面，平面．
取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/66/f/1dmj83.png" style="vertical-align:middle;" />軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，．
，，
，． 平面．
（2）設(shè)平面的法向量為．
，．，，
令得
由（1）知平面，為平面的法向量．
   二面角的余弦值為．
（3）由（2），為平面法向量，  ．
點(diǎn)到平面的距離．
考點(diǎn)：空間向量法證明線面垂直，求二面角，點(diǎn)到直線的距離，線面垂直的判定定理.
點(diǎn)評(píng)：掌握線線、線面、面面的平行與垂直判斷與性質(zhì)是解決此類(lèi)問(wèn)題的前提.