Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．
（Ⅰ）求證：AD⊥CD；
（Ⅱ）若AD=2，AC=

5

，求AB的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BC；根據切線的性質知：OC⊥CD；推出∠DCA=∠B，利用直徑上的圓周角等關系推出，∠ADC=90°即可證明結果．
（Ⅱ）連接BC，證△ADC∽△ACB，根據相似三角形得出的對應邊成比例線段，可將AB的長求出．

解答：證明：（Ⅰ）連接BC．∵直線CD與⊙O相切于C點，∴∠DCA=∠B，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，
∴∠ADC=∠ACB，
∵AB是圓的直徑，∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CD．
（Ⅱ）∵∠DCA=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=AD•AB，
∵AD=2，AC=

5

，
∴AB=

5

2

．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．