Question

【題目】已知數列{an}的前n項為和Sn ， 點（n， ）在直線y= x+ 上．數列{bn}滿足bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈N*），且b3=11，前9項和為153．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）求數列 的前n項和Tn
（3）設n∈N* ， f（n）= 問是否存在m∈N* ， 使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點（n， ）在直線y= x+ 上，

∴ = n+ ，

即Sn= n2+ n，

所以a1=6，

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n+5．

且a1=6也適合，

所以an=n+5

∵bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈N*），

∴bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn=…=b2﹣b1．

∴數列{bn}是等差數列，

∵b3=11，它的前9項和為153，

設公差為d，則b1+2d=11，9b1+ ×d=153，

解得b1=5，d=3．

∴bn=3n+2

（2）解：令 ，

∴ ，

，

則 ，

∴

（3）解：當n∈N*，f（n）= =

當m為奇數時，m+15為偶數，則有3（m+15）+2=5（m+5），解得m=11

當m為偶數時，m+15為奇數．若f（m+15）=5f（m）成立，m+15+5=5（3m+2），此時不成立

所以當m=11時，f（m+15）=5f（m）

【解析】（1）由題意可得Sn= n2+ n，解可求出通項可求an；由bn+2﹣2bn+1+bn=0bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn ， 從而可得數列bn為等差數列，結合題中所給條件可求公差d，首項b1 ， 進一步可求數列的通項．（2）由（I）可知數列 分別為等差、等比數列，對數列求和用錯位相減，（3）當n∈N* ， f（n）= = ，分類討論即可求出m的值．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．