Question

已知函數.
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）當時，若，恒成立，求實數的最小值；
（3）證明.

Answer 1

（1）的單減區間是，單增區間是；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）函數問題先求定義域，當時，由于函數中含有絕對值符號，故要考慮或兩種情況，接著求分別，令，求出其單調增區間或減區間；（2）當時，
，即，構造新函數，用導數法求函數的最小值，必須對分類討論，從而求出的最小值；（3）由（2）得， ，當時，不等式左邊，所以不等式成立，當時，令代入，用放縮法證明不等式成立.
試題解析：（1）當時，
當時，，
，
在上是減函數；
當時，，
，令得，，
在上單減，在上單增
綜上得，的單減區間是，單增區間是．      4分
（2）當時，

即，設  5分
當時，，不合題意；    6分
當時，
令得，，
時，，在上恒成立，在上單增，
，故符合題意；  8分
②當時，，對，，，
故不合題意．綜上，的最小值為．               9分
(3)由（2）得，   ①
證明：當n＝1時，不等式左邊＝2－ln3＜2＝右邊，所以不等式成立．
當n≥2時，令①式中得


，