Question

【題目】△ABC中，角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，且a（cosB+cosC）＝b+c．

（1）求證：A；

（2）若△ABC外接圓半徑為1，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2) （4，2+2]

【解析】

（1）根據余弦定理求得cosB，和cosC代入題設等式中，整理得（b+c）（a2﹣b2﹣c2）＝0進而求得a2＝b2+c2．判斷出A．

（2）根據直角三角形外接圓的性質可求得a，進而求得b+c的表達式，進而根據B的范圍確定b+c的范圍，進而求得三角形周長的范圍．

解：（1）證明：∵a（cosB+cosC）＝b+c

∴由余弦定理得aab+c．

∴整理得（b+c）（a2﹣b2﹣c2）＝0．

∵b+c＞0，∴a2＝b2+c2．故A．

（2）∵△ABC外接圓半徑為1，A，∴a＝2．

∴b+c＝2（sinB+cosB）＝2sin（B）．

∵0＜B，∴B，∴2＜b+c≤2．

∴4＜a+b+c≤2+2，

故△ABC周長的取值范圍是（4，2+2]．