Question

已知函數f(x)=loga[(

1

a

-2)x+1]在區間上[1，3]的函數值大于0恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、(

  1

  2

  ，1)
• B、(

  1

  2

  ，

  3

  5

  )
• C、（1，+∞）
• D、(0，

  3

  5

  )

Answer 1

分析：設g（x）=（

1

a

-2）x+1，x∈[1，3]可得g（x）=（

1

a

-2）x+1是定義域上的單調函數，即

g(1)＞0 g(3)＞0

解得：0＜a＜

3

5

．所以(

1

a

-2)x+1＜ 1在區間上[1，3]恒成立，
所以

1

2

＜a＜

3

5

．

解答：解：設g（x）=（

1

a

-2）x+1，x∈[1，3]
所以g（x）=（

1

a

-2）x+1是定義域上的單調函數，
根據題意得

g(1)＞0 g(3)＞0

解得：0＜a＜

3

5

因為函數f(x)=loga[(

1

a

-2)x+1]在區間上[1，3]的函數值大于0恒成立
所以loga[(

1

a

-2)x+1]＞0在區間上[1，3]恒成立
所以loga[(

1

a

-2)x+1]＞loga1在區間上[1，3]恒成立
因為0＜a＜

3

5

所以(

1

a

-2)x+1＜ 1在區間上[1，3]恒成立
即(

1

a

-2)x＜0在區間上[1，3]恒成立
所以

1

a

-2＜0
解得a＞

1

2

所以

1

2

＜a＜

3

5

所以實數a的取值范圍是

1

2

＜a＜

3

5

．
故選B．

點評：本題主要考查不等式的恒成立問題，解決此題的關鍵是準確的利用不等式的性質轉化不等式，利用充分條件得出最后的結果．