Question

如圖，平面中兩條直線l₁和l₂相交于點O，對于平面上任意一點M，若x，y分別是M到直線l₁和l₂的距離，則稱有序非負實數對（x，y）是點M的“距離坐標”．已知常數p≥0，q≥0，給出下列三個命題：
①若p=q=0，則“距離坐標”為（0，0）的點有且只有1個；
②若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標”為（p，q） 的點有且只有2個；
③若pq≠0則“距離坐標”為 （p，q） 的點有且只有4個．
上述命題中，正確命題的是

①②③

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：題目中點到直線的距離，分別為p、q，由于p、q的范圍是常數p≥0，q≥0，所以對p、q進行分類討論，驗證①②③是否成立．

解答：解：①p=q=0，則“距離坐標”為（0，0）的點有且只有1個，此點為點O．故①正確；
②正確，p，q中有且僅有一個為0，當p為0時，坐標點在L1上，分別為關于O點對稱的兩點，反則在L2上也有兩點，但是這兩種情況不能同時存在；
③正確，四個交點為與直線l₁相距為p的兩條平行線和與直線l₂相距為q的兩條平行線的交點；
故答案為：①②③．

點評：本題解答中，有分類討論的思想方法，又有創新意識，解題時需要注意．這是一個好題，注意變形去掉p≥0，q≥0又該怎樣解．