Question

【題目】已知函數，為的導數．證明：

（1）在區間存在唯一極大值點；

（2）有且僅有2個零點．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求得導函數后，可判斷出導函數在上單調遞減，根據零點存在定理可判斷出，使得，進而得到導函數在上的單調性，從而可證得結論；（2）由（1）的結論可知為在上的唯一零點；當時，首先可判斷出在上無零點，再利用零點存在定理得到在上的單調性，可知，不存在零點；當時，利用零點存在定理和單調性可判斷出存在唯一一個零點；當，可證得；綜合上述情況可證得結論.

（1）由題意知：定義域為：且

令，

，

在上單調遞減，在上單調遞減

在上單調遞減

又，

，使得

當時，；時，

即在上單調遞增；在上單調遞減

則為唯一的極大值點

即：在區間上存在唯一的極大值點.

（2）由（1）知：，

①當時，由（1）可知在上單調遞增

在上單調遞減

又

為在上的唯一零點

②當時，在上單調遞增，在上單調遞減

又

在上單調遞增，此時，不存在零點

又

，使得

在上單調遞增，在上單調遞減

又，

在上恒成立，此時不存在零點

③當時，單調遞減，單調遞減

在上單調遞減

又，

即，又在上單調遞減

在上存在唯一零點

④當時，，

即在上不存在零點

綜上所述：有且僅有個零點