Question

【題目】已知二次函數f（x）滿足f（x）=f（2-x），且f（1）=6，f（3）=2．

（1）求f（x）的解析式

（2）是否存在實數m，使得在[-1，3]上f（x）的圖象恒在直線y=2mx+1的上方？若存在，求m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據題意，分析可得f（x）的對稱軸為x＝1，結合f（1）的值設f（x）＝a（x﹣1）2+6，又由f（3）＝2，即a（3﹣1）2+6＝2，解可得a的值，即可得函數的解析式；

（2）根據題意，假設存在存在實數m，分析可得f（x）＞2mx+1即x2+2（m﹣1）x﹣4＜0在[﹣1，3]上恒成立，設g（x）＝x2+2（m﹣1）x﹣4，結合二次函數的性質可得，解可得m的取值范圍，即可得答案．

解：（1）根據題意，二次函數f（x）滿足f（x）=f（2-x），則函數f（x）的對稱軸為x=1，

又由f（1）=6，則設f（x）=a（x-1）2+6，

又由f（3）=2，即a（3-1）2+6=2，解可得a=-1，

則f（x）=-（x-1）2+6=-x2+2x+5，

（2）根據題意，假設存在存在實數m，使得在[-1，3]上f（x）的圖象恒在直線y=2mx+1的上方，

則有f（x）＞2mx+1即x2+2（m-1）x-4＜0在[-1，3]上恒成立，

設g（x）=x2+2（m-1）x-4，

必有，解可得-＜m＜，

即m的取值范圍為（-，）．