Question

已知數列的前n項和為,,且(),數列滿足,,對任意,都有。
（1）求數列、的通項公式;
（2）令.
①求證:；
②若對任意的，不等式恒成立，試求實數λ的取值范圍.

Answer 1

（1），；（2）。

試題分析：（1）根據利用求出數列的遞推關系式，再利用累乘法數列的通項公式；（2）利用錯位相減法求出，易知，再根據數列的單調性可知；  
（3）把代入整理得，然后參變量分離
得，構造函數，求的最大值，或者是直接構造函數
，然后對二次項系數進行討論，轉化為求二次函數最值問題。
（1）,
∵，∴ ()，
兩式相減得，()
∴，即( ),     
∴()，
又,也滿足上式，故數列的通項公式()。
由，知數列是等比數列，其首項、公比均為，
∴數列的通項公式。
（2）（1）∴    ①
∴         ②
由①-②,得,
∴ 
又恒正,
故是遞增數列,， ∴ 。
又不等式
即，即（）恒成立.
方法一：設（），
當時，恒成立，則滿足條件；
當時，由二次函數性質知不恒成立；
當時，由于對稱軸，則在上單調遞減，
恒成立，則滿足條件，
綜上所述，實數λ的取值范圍是。
方法二：也即（）恒成立，
令．則,  
由，單調遞增且大于0，∴單調遞增，
當時，，且，故，∴實數λ的取值范圍是。   及累乘法求數列的通項公式；（2）利用錯位相減法進行數列求和；（3）數列單調性的判斷；（4）構造函數解決不等式恒成立問題。