Question

【題目】某快遞公司在某市的貨物轉運中心，擬引進智能機器人分揀系統，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本p(x)＝萬元．

(1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？

(2)現按(1)中的數量購買機器人，需要安排m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀，經實驗知，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝ (單位：件)，已知傳統人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數量比引進機器人前的用人數量最多可減少百分之幾？

Answer 1

【答案】（1）若使每臺機器人的平均成本最低，應買300臺（2）75%

【解析】

（1）由總成本p（x）x+150萬元，可得每臺機器人的平均成本，然后利用基本不等式求最值；（2）引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量q（m），分段求出300臺機器人的日平均分揀量的最大值及所用人數，再由最大值除以1200，可得分揀量達最大值時所需傳統分揀需要人數，則答案可求．

(1)由總成本p(x)＝萬元，可得每臺機器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2.當且僅當x＝，即x＝300時，上式等號成立．∴若使每臺機器人的平均成本最低，應買300臺．

(2)引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量

q(m)＝當1≤m≤30時，300臺機器人的日平均分揀量為160m(60－m)＝－160m2＋9600m，∴當m＝30時，日平均分揀量有最大值144000件．當m＞30時，日平均分揀量為480×300＝144000(件)．∴300臺機器人的日平均分揀量的最大值為144000件．若傳統人工分揀144000件，則需要人數為＝120(人)．

∴日平均分揀量達最大值時，用人數量比引進機器人前的用人數量最多可減少×100%＝75%.