Question

如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點，四邊形是邊長為的正方形．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連結，與交于點，連結．因為，分別為和的中點，所以∥．又平面，平面，
所以∥平面．             ……………………4分
（Ⅱ）證明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以．因為，為中點，所以．又，
所以平面．又平面，所以．
因為四邊形為正方形，，分別為，的中點，
所以△≌△，． 所以．
所以．
又，所以平面．               ……………………8分

（Ⅲ）解：如圖，以的中點為原點，建立空間直角坐標系．
則．
由（Ⅱ）知平面，所以為平面的一個法向量．
設為平面的一個法向量，
，．
由可得
令，則．
所以．
從而．
因為二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為．………12分

略