Question

已知雙曲線（a＞0，b＞0）的上、下頂點分別為A、B，一個焦點為F（0，c）（c＞0），兩準線間的距離為1，|AF|、
|AB|、|BF|成等差數列．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設過點F作直線l交雙曲線上支于M、N兩點，如果S_△MON=tan∠MON，求△MBN的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）依題意可分別表示出|AF|，|AB|和|BF|，進而根據三者成等差數列建立等式求得a和c的關系，進而利用兩準線間的距離求得a和c的另一關系式，聯立求得a和c，進而求得b，則雙曲線的方程可得．
（II）先利用三角形面積公式表示出△MON的面積，整理求得的值，進而設出M，N的坐標表示出和，進而求得x₁x₂+y₁y₂=-7．設出直線MN的方程與雙曲線的方程聯立，利用判別式和方程的兩根的范圍求得k的范圍，把y₁y₂的表達式代入上式，整理求得k，進而求得三角形MBN的面積．
解答：解：（I）由已知|AF|=c-a，AB=2a，|BF|=c+a，
∴4a=（c-a）+（c+a），即c=2a．
又∵，于是可解得a=1，c=2，b²=c²-a²=3．
∴雙曲線方程為．
（II）∵S_△MON=，
∴
整理得|OM|•|ON|•cos∠MON=-7，即．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），于是，，
∴x₁x₂+y₁y₂=-7．
設直線MN的斜率為k，則MN的方程為y=kx+2．
∴消去y，整理得（3k²-1）x²+12kx+9=0．
∵MN與雙曲線交于上支，
∴△=（12k）²-4×9×（3k²-1）=36k²+36＞0，x₁x₂=，，
∴．
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=-7，整理得x₁x₂+k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-7，
代入得：，解得，滿足條件．
S_△MBN==
=
=
=．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．查了學生對問題的綜合分析和基本的運算能力．