Question

證明下列不等式．
（1）求證：當a、b、c為正數時，（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9．
（2）已知n≥0，試用分析法證明：

n+2

-

n+1

＜

n+1

-

n

．

Answer 1

分析：（1）將不等式左邊展開，根據a、b、c為正數，利用基本不等式可證得（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9成立；
（2）移項將不等式化為

n+2

+

n

＜2

n+1

，兩邊平方整理后，可得n+1＞

n2+2n

，比較（n+1）²與n²+2n的大小可得答案．

解答：證明：（1）左邊=3+(

a

b

+

b

a

)+(

c

b

+

b

c

)+(

a

c

+

c

a

)
因為：a、b、c為正數
所以：左邊≥3+2

a b • b a

+2

c b • b c

+2

a c • c a

=3+2+2+2=9
∴（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9
（2）要證

n+2

-

n+1

＜

n+1

-

n

成立，
需證

n+2

+

n

＜2

n+1

需證(

n+2

+

n

)2＜(2

n+1

)2
需證n+1＞

n2+2n

需證（n+1）²＞n²+2n
需證n²+2n+1＞n²+2n，
只需證1＞0
因為1＞0顯然成立，所以原命題成立

點評：本題考查的知識點是不等式的證明，其中（1）考查的知識點是基本不等式，（2）考查的知識點是分析法證明．