Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+（a-2）lnx+1（a∈R）．

（1）若函數在點（1，f（1））處的切線平行于直線y=4x+3，求a的值；

（2）令c（x）=f（x）+（3-a）lnx+2a，討論c（x）的單調性；

（3）a=1時，函數y=f（x）圖象上的所有點都落在區域內，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=2（2）見解析（3）t≤3

【解析】

（1）求出函數的導數，得到關于a的方程，求出a的值即可；

（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間即可；

（3）代入a的值，整理得：，令，根據函數的單調性求出t的范圍即可．

函數的定義域為（0，+∞），

（1）f′（x）=2ax+，由題意f′（1）=4，

所以2a+（a-2）=4，

解之得：a=2

（2）由已知c（x）=ax2+lnx+2a+1，

則c′（x）=2ax+=，

當a≥0，則當x∈（0，+∞）時，有c′（x）＞0，

故c（x）在x∈（0，+∞）上單調遞增；

當a＜0，則當x∈（0，）時有c′（x）＞0，

當x∈（，+∞））時有c′（x）＜0，

故c（x）在（0，）單調遞增，在（，+∞）單調遞減；

（3）a=1時，f（x）=x2-lnx+1，

即當x＞0時恒有x2-lnx+1≥tx-x2，又x∈（0，+∞），

整理得：t≤2x-+，

令g（x）=2x-+，

則g′（x）=2--=，

令h（x）=2x2+lnx-2，

由h′（x）=4x+＞0恒成立，

即h（x）=2x2+lnx-2在（0，+∞）上單調遞增，

且h（1）=0，則g′（1）=0，

所以x∈（0，1）時h（x）＜0，x∈（1，+∞）時h（x）＞0，

所以x∈（0，1）時g′（x）＜0，此時y=g（x）單調遞減，

x∈（1，+∞）時g′（x）＞0，此時y=g（x）單調遞增，

所以g（x）≥g（1）=3，

所以t≤3；