Question

已知二次函數y=ax²+2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0．
（1）求證：此函數的圖象與x軸交于相異的兩個點．
（2）設函數圖象截x軸所得線段的長為l，求證：＜l＜2．

Answer 1

證明：（1）由a+b+c=0得b=-（a+c）．
△=（2b）²-4ac=4（a+c）²-4ac
=4（a²+ac+c²）=4[（a+）²+c²]＞0．
故此函數圖象與x軸交于相異的兩點．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴＜-．
∴-2＜＜-．
l=|x₁-x₂|=．
由二次函數的性質知l∈（，2）．
分析：（1）欲證明二次函數與x軸有兩個交點，只須函數相應方程的判別式大于0即可，本題中函數解析式未知，故應合理利用條件
a＞b＞c且a+b+c=0，對其變形后代入判別式進行變換即可判斷判別式的符號，證明本題．
（2）利用求根公式求出函數相應方程的兩個根，得到線段長l的表達式，變形得l=|x₁-x₂|=，由次形式推斷出線段長度范圍的關鍵是確定的范圍，由此問題研究的方向找到，以下依據a＞b＞c且a+b+c=0恒等變形求的范圍即可．
點評：本題的考點是二次函數的性質，考查綜合利用二次函數相關知識證明問題的能力，本題在解題中技巧性很強，如（1）中消去參數b利于確定判別式的范圍，（2）中靈活運用a＞b＞c且a+b+c=0來確定的范圍，此類技巧的運用需要平時經驗的積累，以及數學素養的提高，題后應對這些變形的技巧的變形過程及變形后達到目標進行細致的分析，力爭能把握此類技巧的使用．