Question

已知a，b，c分別是三角形ABC的角A、B、C所對邊，且a，b，c成等差數列，公差d≠0；
（1）求證：

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差數列．
（2）求證：0°＜B＜60°．

Answer 1

（1）證明：假設

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數列，則有

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

，從而

a-b

ab

=

b-c

bc

，
因為a，b，c成等差數列，d≠0；所以a-b=b-c=-d，
故

-d

ab

=

-d

bc

，從而ab=bc即a=c，這與已知d≠0相矛盾．
所以

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差數列．
（2）∵

cosB= a2+c2-b2 2ac = a2+c2-( a+c 2 )2 2ac = 4(a2+c2)-(a+c)2 8ac

=

3(a2+c2)-2ac 8ac ＞ 6ac-2ac 8ac = 1 2

．
又因為B為三角形內角，所以，0°＜B＜60°．